题目

（本小题满分12分） 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，。以的中点为球心、为直径的球面交于点。 （1）求证：平面⊥平面； （2）求直线与平面所成的角； （3）求点到平面的距离。 答案：（1）证明见解析。 （2） （3） 解析:方法（一）： （1）证明：依题设，Ｍ在以ＢＤ为直径的球面上，则ＢＭ⊥ＰＤ. 因为ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，则ＰＡ⊥ＡＢ，又ＡＢ⊥ＡＤ， 所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，则ＡＢ⊥ＰＤ，因此有ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，所以平面ＡＢＭ⊥平面ＰＣＤ。 （２）设平面ＡＢＭ与ＰＣ交于点Ｎ，因为ＡＢ∥ＣＤ，所以ＡＢ∥平面ＰＣＤ，则ＡＢ∥ＭＮ∥ＣＤ， 由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，则MN是PN在平面ABM上的射影， 所以  就是与平面所成的角， 且 所求角为 （3）因为O是BD的中点，则O点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离的一半，由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ于M，则|DM|就是D点到平面ABM距离。 因为在Rt△PAD中，，，所以为中点，，则O点到平面ABM的距离等于。 方法二： （1）同方法一； （2）如图所示，建立空间直角坐标系，则，，， ，，， 设平面的一个法向量，由可得：，令，则，即.设所求角为，则， 所求角的大小为。 （3）设所求距离为，由，得：。

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