题目

（2019·上海中考模拟）已知锐角∠MBN的余弦值为，点C在射线BN上，BC＝25，点A在∠MBN的内部，且∠BAC＝90°，∠BCA＝∠MBN．过点A的直线DE分别交射线BM、射线BN于点D、E．点F在线段BE上（点F不与点B重合），且∠EAF＝∠MBN． （1）如图1，当AF⊥BN时，求EF的长； （2）如图2，当点E在线段BC上时，设BF＝x，BD＝y，求y关于x的函数解析式并写出函数定义域； （3）联结DF，当△ADF与△ACE相似时，请直接写出BD的长． 答案：（1）16（2）（3）或 【解析】 （1）∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°， ∴cos∠BCA＝cos∠MBN＝， ∴ ∴AC＝15 ∴AB＝＝20 ∵S△ABC＝×AB×AC＝×BC×AF， ∴AF＝＝12， ∵AF⊥BC ∴cos∠EAF＝cos∠MBN＝ ∴AE＝20 ∴EF＝＝16 （2）如图，过点A作AH⊥BC于点H， 由（1）可知：AB＝20，AH＝12，AC＝15， ∴BH＝＝16， ∵BF＝x， ∴FH＝16﹣x，CF＝25﹣x， ∴AF2＝AH2+FH2＝144+（16﹣x）2＝x2﹣32x+400， ∵∠EAF＝∠MBN，∠BCA＝∠MBN ∴∠EAF＝∠BCA，且∠AFC＝∠AFC， ∴△FAE∽△FCA ∴，∠AEF＝∠FAC， ∴AF2＝FC×EF ∴x2﹣32x+400＝（25﹣x）×EF， ∴EF＝ ∴BE＝BF+EF＝ ∵∠MBN＝∠ACB，∠AEF＝∠FAC， ∴△BDE∽△CFA ∴ ∴ ∴y＝（0<x≤） （3）如图，若△ADF∽△CEA， ∵△△ADF∽△CEA， ∴∠ADF＝∠AEC， ∵∠EAF＝∠MBN，∠EAF+∠DAF＝180°， ∴∠DAF+∠MBN＝180°， ∴点A，点F，点B，点D四点共圆， ∴∠ADF＝∠ABF， ∴∠ADF＝∠AEC＝∠ABF， ∴AB＝AE， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ABC+∠ACB＝90°，且∠ABF＝∠AEC，∠ACB＝∠MBN＝∠EAF， ∴∠AEC+∠EAF＝90°，∠AEC+∠MBN＝90°， ∴∠BDE＝90°＝∠AFC， ∵S△ABC＝×AB×AC＝×BC×AF， ∴AF＝＝12， ∴BF＝， ∵AB＝AE，∠AFC＝90°， ∴BE＝2BF＝32， ∴cos∠MBN＝， ∴BE＝， 如图，若△ADF∽△CAE， ∵△ADF∽△CAE， ∴∠ADF＝∠CAE，∠AFD＝∠AEC， ∴AC∥DF ∴∠DFB＝∠ACB，且∠ACB＝∠MBN， ∴∠MBN＝∠DFB， ∴DF＝BD， ∵∠EAF＝∠MBN，∠EAF+∠DAF＝180°， ∴∠DAF+∠MBN＝180°， ∴点A，点F，点B，点D四点共圆， ∴∠ADF＝∠ABF， ∴∠CAE＝∠ABF，且∠AEC＝∠AEC， ∴△ABE∽△CAE ∴ 设CE＝3k，AE＝4k，（k≠0） ∴BE＝ k， ∵BC＝BE﹣CE＝25 ∴k＝ ∴AE＝，CE＝，BE＝ ∵∠ACB＝∠FAE，∠AFC＝∠AFE， ∴△AFC∽△EFA， ∴， 设AF＝7a，EF＝20a， ∴CF＝a， ∵CE＝EF﹣CF＝a＝， ∴a＝， ∴EF＝， ∵AC∥DF， ∴， ∴， ∴DF＝， 综上所述：当BD为 或  时，△ADF与△ACE相似 【点睛】 本题是相似综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．

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