题目

已知：菱形和菱形，，起始位置点在边上，点在所在直线上，点在点的右侧，点在点的右侧，连接和，将菱形以为旋转中心逆时针旋转角（）． （1）如图1，若点与重合，且，求证：； （2）若点与不重合，是上一点，当时，连接和，和所在直线相交于点； ①如图2，当时，请猜想线段和线段的数量关系及的度数； ②如图3，当时，请求出线段和线段的数量关系及的度数； ③在②的条件下，若点与的中点重合，，，在整个旋转过程中，当点与点重合时，请直接写出线段的长． 答案：（1）见详解；（2）①A′C＝BM，∠BPC＝45°；②A′C＝BM，∠BPC＝30°；③1＋． 【解析】 （1）证明△ADD′≌△BAB′（SAS）可得结论； （2）①证明△AA′C∽△MAB，可得结论； ②证明方法类似①，即证明△AA′C∽△MAB即可得出结论； ③求出A′C，利用②中结论计算即可． 【详解】 （1）证明：如图1，在菱形ABCD和菱形A′B′C′D′中，∵∠BAD＝∠B′A′D′＝90°， ∴四边形ABCD，四边形A′B′CD′都是正方形， ∵∠DAB＝∠D′AB′＝90°， ∴∠DAD′＝∠BAB′， ∵AD＝AB，AD′＝AB′， ∴△ADD′≌△BAB′（SAS）， ∴DD′＝BB′； （2）①解：如图2中，结论：A′C＝BM，∠BPC＝45°； 理由：设AC交BP于O， ∵四边形ABCD，四边形A′B′CD′都是正方形， ∴∠MA′A＝∠DAC＝45°， ∴∠A′AC＝∠MAB， ∵MA′＝MA， ∴∠MA′A＝∠MAA′＝45°， ∴∠AMA′＝90°， ∴AA′＝AM， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∵AC＝AB， ∴=， ∵∠A′AC＝∠MAB， ∴△AA′C∽△MAB， ∴=，∠A′CA＝∠ABM， ∴A′C＝BM， ∵∠AOB＝∠COP， ∴∠CPO＝∠OAB＝45°，即∠BPC＝45°； ②解：如图3中，设AC交BP于O， 在菱形ABCD和菱形A′B′C′D′中，∵∠BAD＝∠B′A′D′＝60°， ∴∠C′A′B′＝∠CAB＝30°， ∴∠A′AC＝∠MAB， ∵MA′＝MA， ∴∠MA′A＝∠MAA′＝30°， ∴AA′＝AM， 在△ABC中，∵BA＝BC，∠CAB＝30°， ∴AC＝AB， ∴=， ∵∠A′AC＝∠MAB， ∴△A′AC∽△MAB， ∴=，∠ACA′＝∠ABM， ∴A′C＝BM， ∵∠AOB＝∠COP， ∴∠CPO＝∠OAB＝30°，即∠BPC＝30°； ③如图4中，过点A作AH⊥A′C于H， 由题意AB＝BC＝CD＝AD＝2，可得AC＝AB＝2， 在Rt△A′AH中，A′H＝AA′＝1，A′H＝AH＝， 在Rt△AHC中，CH＝==， ∴A′C＝A′H＋CH＝＋， 由②可知，A′C＝BM， ∴BM＝1＋． 【点睛】 本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．

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