题目

     反比例函数y＝ (k为常数,k≠0)的图象是双曲线.当k＞0时，双曲线两个分支分别在 一、三象限,在每一个象限内,y随x的增大而减小（简称增减性）；反比例函数的图象关于    原点对称（简称对称性）．       这些我们熟悉的性质，可以通过说理得到吗？   【尝试说理】 我们首先对反比例函数y＝（k＞0）的增减性来进行说理． 如图，当x＞0时． 在函数图象上任意取两点A、B，设A(x1，)，B(x2，)， 且0＜x1＜ x2． 下面只需要比较和的大小． —＝ ． ∵0＜x1＜ x2，∴x1－x2＜0，x1 x2＞0，且 k＞0． ∴＜0．即． 这说明：x1＜ x2时，．也就是：自变量值增大了，对应的函数值反而变小了． 即：当x＞0时，y随x的增大而减小． 同理，当x＜0时，y随x的增大而减小． （1）试说明：反比例函数y＝  （k＞0）的图象关于原点对称．    【运用推广】 （2）分别写出二次函数y＝ax2 (a＞0，a为常数)的对称性和增减性，并进行说理． 对称性：                                            ； 增减性：                                             ． 说理： （3）对于二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0，a，b，c为常数)，请你从增减性的角度，简要解释为何当x＝— 时函数取得最小值． 答案：  （1）在反比例函数y＝（k＞0）的图象上任取一点P(m，n)，于是：mn＝k．       那么点P关于原点的对称点为P1(－m，－n)．而(－m)(－n)＝mn＝k，       这说明点P1也必在这个反比例函数y＝的图象上．      所以反比例函数y＝  （k＞0）的图象关于原点对称． （2）对称性：二次函数y＝ax2 (a＞0，a为常数)的图象关于y轴成轴对称．      增减性：当x＞0时，y随x增大而增大；当x＜0时，y随x增大而减小．      理由如下：      ①在二次函数y＝ax2 (a＞0，a为常数) 的图象上任取一点Q(m，n)，于是n＝am2．      那么点Q关于y轴的对称点Q1(－m，n)．而n＝a(－m)2，即n＝am2．      这说明点Q1也必在在二次函数y＝ax2 (a＞0，a为常数) 的图象上．      ∴二次函数y＝ax2 (a＞0，a为常数)的图象关于y轴成轴对称，      ②在二次函数y＝ax2 (a＞0,a为常数)的图象上任取两点A、B,设A(m，am2),        B(n，an2) ，且0＜m＜n．      则an2－am2＝a(n＋m)(n－m)      ∵n＞m＞0，      ∴n＋m＞0，n－m＞0；      ∵a＞0，      ∴an2－am2＝a(n＋m)(n－m)＞0．即an2＞am2．     而当m＜n＜0时，     n＋m＜0，n－m＞0；     ∵a＞0，     ∴an2－am2＝a(n＋m)(n－m)＜0．即an2＜am2．     这说明，当x＞0时，y随x增大而增大；当x＜0时，y随x增大而减小．      （3）二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0，a，b，c为常数) 的图象可以由y＝ax2的图象通过平      移得到，关于直线x＝—对称，当x＝—时，y＝．      由（2），当x≥—时，y随x增大而增大；也就是说，只要自变量x≥—，其对应      的函数值y≥；而当x≤—时，y随x增大而减小，也就是说，只要自变量x      ≤—，其对应的函数值y≥． 综上，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0，a，b，c为常数)，当x＝— 时取得最小值．

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