题目

如图4­2­43(1)，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上． (1)求证：BE＝CE； (2)若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，如图4­2­43(2)，∠BAC＝45°，原题设其他条件不变．求证：△AEF≌△BCF. 　　　 答案：证明：(1)∵AB＝AC，D是BC的中点， ∴∠BAE＝∠CAE. 在△ABE和△ACE中，AB＝AC，∠BAE＝∠CAE，AE＝AE， ∴△ABE≌△ACE(SAS)． ∴BE＝CE. (2)∵∠BAC＝45°，BF⊥AF， ∴△ABF为等腰直角三角形．∴AF＝BF. 由(1)知AD⊥BC，∴∠EAF＝∠CBF. 在△AEF和△BCF中，AF＝BF，∠AFE＝∠BFC＝90°，∠EAF＝∠CBF， ∴△AEF≌△BCF.

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