题目

已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，证明:  （其中e为自然对数的底数）. 答案：.解析：（1）由题意，函数的定义域为,   当时，恒成立，故的递增区间为； 当时，在区间，时，时， 所以的递增区间为，，递减区间为； 当时，在区间，时，时， 所以的递增区间为，，递减区间为；                 （5分）      （2）当时，由,只需证明. 令 ，. 设，则. 当时，，单调递减; 当时，，单调递增, ∴当时，取得唯一的极小值，也是最小值. 的最小值是 成立. 故成立.                                               （12分）

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