题目

(本小题共14分) 如图，四棱锥的底面是直角梯形，，，和是两个边长为的正三角形，，为的中点，为的中点．  (Ⅰ)求证：平面；  (Ⅱ)求证：平面；  (Ⅲ)求直线与平面所成角的正弦值． 答案：(共14分) （Ⅰ）证明：设为的中点，连接，则 ∵，，， ∴四边形为正方形， ∵为的中点， ∴为的交点， ∵， ∴，                                  ………………………………..2分 ∵， ∴，， 在三角形中，，∴，……………………………4分 ∵，∴平面；                ……………………………5分 (Ⅱ)方法1：连接，∵为的中点，为中点， ∴， ∵平面，平面， ∴平面.                                    ……………………………9分 方法2：由(Ⅰ)知平面，又，所以过分别做的平行线，以它们做轴，以为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由已知得： ，， ，，， ， 则，，，. ∴ ∴ ∵平面，平面， ∴平面；                                 …………………………………9分 (Ⅲ) 设平面的法向量为，直线与平面所成角， 则，即， 解得，令，则平面的一个法向量为， 又 则， ∴直线与平面所成角的正弦值为.     ………………………………………14分

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