题目

如图，在梯形ABCD中，AD//BC，E是BC的中点，AD=5，BC=12，CD=，∠C=45°，点P是BC边上一动点，设PB的长为x．【小题1】当x的值为____________时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形【小题2】当x的值为____________时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；【小题3】点P在BC边上运动的过程中，以P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由． 答案：【小题1】3或8【小题2】1或11【小题3】由（2）知，当BP=11时，以P、A、D、E为顶点的四边形为菱形解析:解：（1）如图，分别过A、D作AM⊥BC于M，DN⊥CB于N，∴AM=DN，AD=MN=5，而CD=4 ，∠C=45°，∴DN=CN=4=AM，∴BM=CB-CN-MN=3，若点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形，则∠APC=90°或∠DEB=90°，当∠APC=90°时，∴P与M重合，∴BP=BM=3；当∠DEB=90°时，∴P与N重合，∴BP=BN=8；故当x的值为3或8时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形；（2）若以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形，那么AD=PE，有两种情况：①当P在E的左边，∵E是BC的中点，∴BE=6，∴BP=BE-PE=6-5=1；②当P在E的右边，BP=BE+PE=6+5=11；故当x的值为1或11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；（3）由（2）知，当BP=11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形∴EP=AD=5，过D作DN⊥BC于N，∵CD=4 ，∠C=45°，则DN=CN=4，∴NP=3．∴DP=∴EP=DP，故此时▱PDAE是菱形．即以点P、A、D、E为顶点的四边形能构成菱形

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