题目

如图，已知双曲线C：－y2＝1(a>0)的右焦点为F.点A，B分别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA(O为坐标原点)． (1)求双曲线C的方程； (2)过C上一点P(x0，y0)(y0≠0)的直线l：－y0y＝1与直线AF相交于点M，与直线x＝相交于点N.证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值． 答案：解　(1)设F(c,0)，因为b＝1，所以c＝， 直线OB方程为y＝－x， 直线BF的方程为y＝(x－c)，解得B(，－)． 又直线OA的方程为y＝x， 则A(c，)，kAB＝＝. 又因为AB⊥OB，所以·(－)＝－1， 解得a2＝3， 故双曲线C的方程为－y2＝1. ………4分 (2)由(1)知a＝，则直线l的方程为 －y0y＝1(y0≠0)，即y＝. 因为直线AF的方程为x＝2， 所以直线l与AF的交点为M(2，)； 直线l与直线x＝的交点为N(，)．………6分 则＝＝ ＝·.………10分 因为P(x0，y0)是C上一点，则－y＝1， 代入上式得＝· ＝·＝， 即所求定值为＝＝.………12分

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