题目

22.设正整数数列{an}满足：a2＝4，且对于任何n∈N*，有.（1）求a1，a3；（2）求数列{ an }的通项an . 答案：解：（1）据条件得①当n=1时，由，即有，解得，因为a1为正整数，故a1=1.当n=2时，由，解得8＜a3＜10,所以a3=9.(2)方法一：由a1=1,a2=4,a3=9,猜想：an=n2下面用数学归纳证明.当n=1,2时，由（1）知an=n2均成立;假设成立，即ak=k2,则n=k+1时由①得因为时，(k3+1)-(k+1)2=k(k+1)(k-2)0.所以。k-11,所以又，所以故ak+1=(k+1)2,即n=k+1时，an=n2成立。由,知，对任意,an=n2.(2)方法二：由a1=1,a2=4,a3=9, 猜想：an=n2下面用数学归纳法证明.当n=1,2时，由（1）知an=n2均成立;假设成立，即ak=k2,则n=k+1时由①得即②由②左式，得，即（k-1）ak+1＜k3+k2-k,因为两端为整数，则（k-1）ak+1k3+k2-k-1=(k+1)2(k-1).于是ak+1(k+1)2 ③又由②右式，，则（k2-k+1）ak+1＞k3(k+1).因为两端为正整数，则(k2-k+1)ak+1k4+k3+1,所以。又因，ak+1为正整数，则④据③④ak+1=(k+1)2,即n=k+1时，an=n2成立.由、知，对任意，.

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