题目

边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（点P与A、C不重合），连接BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，连接QP，QP与BC交于点E，QP延长线与AD（或AD延长线）交于点F． （1）连接CQ，证明：CQ=AP； （2）设AP=x，CE=y，试写出y关于x的函数关系式，并求当x为何值时，CE=BC； （3）猜想PF与EQ的数量关系，并证明你的结论． 答案：【考点】LO：四边形综合题． 【分析】（1）证出∠ABP=∠CBQ，由SAS证明△BAP≌△BCQ可得结论； （2）如图1证明△APB∽△CEP，列比例式可得y与x的关系式，根据CE=BC计算CE的长，即y的长，代入关系式解方程可得x的值； （3）如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△PGB≌△QEB，得EQ=PG，由F、A、G、P四点共圆， 得∠FGP=∠FAP=45°，所以△FPG是等腰直角三角形，可得结论． 如图4，当F在AD的延长线上时，同理可得结论． 【解答】（1）证明：如图1，∵线段BP绕点B顺时针旋转90°得到线段BQ， ∴BP=BQ，∠PBQ=90°． ∵四边形ABCD是正方形， ∴BA=BC，∠ABC=90°． ∴∠ABC=∠PBQ． ∴∠ABC﹣∠PBC=∠PBQ﹣∠PBC，即∠ABP=∠CBQ． 在△BAP和△BCQ中， ∵， ∴△BAP≌△BCQ（SAS）． ∴CQ=AP； （2）解：如图1，∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAC=∠BAD=45°，∠BCA=∠BCD=45°， ∴∠APB+∠ABP=180°﹣45°=135°， ∵DC=AD=2， 由勾股定理得：AC==4， ∵AP=x， ∴PC=4﹣x， ∵△PBQ是等腰直角三角形， ∴∠BPQ=45°， ∴∠APB+∠CPQ=180°﹣45°=135°， ∴∠CPQ=∠ABP， ∵∠BAC=∠ACB=45°， ∴△APB∽△CEP， ∴， ∴， ∴y=x（4﹣x）=﹣x（0＜x＜4）， 由CE=BC==， ∴y=﹣x=， x2﹣4x=3=0， （x﹣3）（x﹣1）=0， x=3或1， ∴当x=3或1时，CE=BC； （3）解：结论：PF=EQ，理由是： 如图3，当F在边AD上时，过P作PG⊥FQ，交AB于G，则∠GPF=90°， ∵∠BPQ=45°， ∴∠GPB=45°， ∴∠GPB=∠PQB=45°， ∵PB=BQ，∠ABP=∠CBQ， ∴△PGB≌△QEB， ∴EQ=PG， ∵∠BAD=90°， ∴F、A、G、P四点共圆， 连接FG， ∴∠FGP=∠FAP=45°， ∴△FPG是等腰直角三角形， ∴PF=PG， ∴PF=EQ． 当F在AD的延长线上时，如图4，同理可得：PF=PG=EQ． 　

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