题目

已知直线kx﹣y+2k﹣1=0恒过定点A，点A也在直线mx+ny+1=0上，其中m、n均为正数，则+的最小值为(     ) A．2    B．4    C．8    D．6 答案：【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定． 【专题】空间位置关系与距离；空间角． 【分析】方法一： （1）连结AC，AC交BD于O，连结EO，利用三角形中位线的性质，可得PA∥EO，利用线面平行的判定可得结论； （2）证明DE⊥PC，BC⊥平面PDC，DE⊥平面PBC，可得DE⊥PB，利用线面垂直的判定定理，可得PB⊥平面EFD； （3）确定∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角，利用正弦函数即可求解； 方法二：建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC=a （1）连结AC，AC交BD于G，连结EG，证明，这表明PA∥EG，可得结论； （2）利用向量的数量积公式，证明PB⊥DE，再利用线面垂直的判定定理，可得结论； （3）确定∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角，利用向量的夹角公式，即可解决． 【解答】方法一： （1）证明：连结AC，AC交BD于O，连结EO ∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点 在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO 而EO⊂平面EDB且PA⊄平面EDB， 所以，PA∥平面EDB （2）证明： ∵PD⊥底面ABCD且DC⊂底面ABCD，∴PD⊥DC ∵PD=DC，可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线， ∴DE⊥PC    ① 同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC ∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC 而DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE    ② 由①和②推得DE⊥平面PBC 而PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB 又EF⊥PB且DE∩EF=E，所以PB⊥平面EFD （3）解：由（2）知，PB⊥DF，故∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角 由（2）知，DE⊥EF，PD⊥DB 设正方形ABCD的边长为a，则， 在Rt△PDB中， 在Rt△EFD中，，∴ 所以，二面角C﹣PB﹣D的大小为； 方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC=a （1）证明：连结AC，AC交BD于G，连结EG 依题意得 ∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为且 ∴，这表明PA∥EG 而EG⊂平面EDB且PA⊄平面EDB，∴PA∥平面EDB （2）证明；依题意得B（a，a，0）， 又，故 ∴PB⊥DE 由已知EF⊥PB，且EF∩DE=E，所以PB⊥平面EFD （3）解：设点F的坐标为（x0，y0，z0），，则（x0，y0，z0﹣a）=λ（a，a，﹣a） 从而x0=λa，y0=λa，z0=（1﹣λ）a 所以 由条件EF⊥PB知，，即，解得 ∴点F的坐标为，且， ∴ 即PB⊥FD，故∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角 ∵，且，， ∴ ∴ 所以，二面角C﹣PB﹣D的大小为． 【点评】本题考查线面平行、线面垂直、考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．

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