题目

定义：如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P在该抛物线上（P点与A、B两点不重合），如果△ABP的三边满足AP2+BP2=AB2，则称点P为抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的勾股点. (1)直接写出抛物线y=﹣x2+1的勾股点的坐标. (2)如图2，已知抛物线C：y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P（1，）是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式. (3)在(2)的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ=S△ABP的Q点（异于点P）的坐标. 　 答案：解：(1)抛物线y=﹣x2+1的勾股点的坐标为（0，1）； (2)抛物线y=ax2+bx过原点，即点A（0，0）， 如图，作PG⊥x轴于点G， ∵点P的坐标为（1，）， ∴AG=1、PG=，PA===2， ∵tan∠PAB==， ∴∠PAG=60°， 在Rt△PAB中，AB===4， ∴点B坐标为（4，0）， 设y=ax（x﹣4）， 将点P（1，）代入得：a=﹣， ∴y=﹣x（x﹣4）=﹣x2+x； (3)①当点Q在x轴上方时，由S△ABQ=S△ABP知点Q的纵坐标为， 则有﹣x2+x=， 解得：x1=3，x2=1（不符合题意，舍去）， ∴点Q的坐标为（3，）； ②当点Q在x轴下方时，由S△ABQ=S△ABP知点Q的纵坐标为﹣， 则有﹣x2+x=﹣， 解得：x1=2+，x2=2﹣， ∴点Q的坐标为（2+，﹣）或（2﹣，﹣）； 综上，满足条件的点Q有3个：（3，）或（2+，﹣）或（2﹣，﹣）．

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