题目

如图，在平面直角坐标系中，点A（0，a），点B（b，0），点D（d,0）,其中a、b、d满足： ，DE⊥x轴，且∠BED=∠ABO,直线AE交x轴于点C． (1)求A、B、D三点的坐标； (2)求证△ABO≌△BED (3)求直线AE的解析式； (4)动点P在y轴上，求PE+PC最小值时点P的坐标． 答案：（1）A（0,3）B(-1,0)， D(2,0)；（2）见解析；（3）y=-x+3 ；（4）P(0， ) 【解析】（1）根据已知等式，利用非负数的性质求出a，b，d的值，确定出A，B，D的坐标即可； （2）由已知角相等，加上一对直角相等，且根据A，B与D的坐标确定出OA=BD，利用AAS得到三角形AOB与三角形BED全等. (3)利用全等三角形的对应边相等得到OB=ED，进而确定出E坐标，设直线AE解析式为y=mx+n，将A与E坐标代入求出m与n的值，即可确定出直线AE解析式； （4）作E关于y轴的对称点F，连接CF与y轴相交于P，则PE+PC的值最小.由直线EF解析式，求出P坐标即可． 【详解】（1）∵, ∴a-3=0，b+1=0，2-d=0， 解得：a=3，b=-1，d=2， ∴A（0，3），B（-1，0），D（2，0）； （2）∵B（-1，0），D（2，0），A（0，3）， ∴OB=1，OD=2，即BD=OB+OD=1+2=3， ∴OA=BD=3， 在△ABO和△BED中， , ∴△ABO≌△BED（AAS）. (3)由（2）△ABO≌△BED得： ED=OB=1， ∴E（2，1）， 设直线AE解析式为y=mx+n， 将A（0，3）与E（2，1）代入得： n＝3，2m+n＝1， 解得：m＝−1，n＝3． 则直线AE解析式为y=-x+3. （4）作E关于y轴的对称点F，连接CF与y轴相交于P，则PE+PC的值最小. 由(3)AE:y=-x+3得C（3,0）， ∵E关于y轴对称点F是（-2,1）， ∴把F（-2,1），C（3,0）分别代入得：  ， 解得  ，  ∴直线CF的解析式： ， ∴直线与Y轴交点P为(0，). 故正确答案为： （1）A（0,3）B(-1,0)， D(2,0)；（2）见解析；（3）y=-x+3 ；（4）P(0，) 【点睛】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，以及非负数的性质，轴对称性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

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