题目

　　某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件. (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元? (2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元.公司拟投入(x2-600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价. 答案： (1)设每件定价为x元，依题意，有x≥25×8，…………3分 整理得x2-65x+1 000≤0，解得25≤x≤40…………………………………………………5分 所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元    ……………………7分 (2)依题意，当x>25时，不等式ax≥25×8+50+(x2-600)+x有解， ………………9分 等价于x>25时，a≥+x+有解，    ……………………………………………11分 因为+x≥2=10(当且仅当x=30时，等号成立)， 所以a≥10.2………………………………………………………………………………13分 所以当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元  ……………………………………14分 【精要点评】(1)正确审题，准确建立数学模型，然后根据模型特征选取求最值的方法. (2)在解应用题时，时刻注意自变量的实际意义所确定的定义域.

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