题目

已知数列是等差数列，是等比数列，且满足，． （1）若，．①当时，求数列和的通项公式；②若数列是唯一的，求的值； （2）若，，均为正整数，且成等比数列，求数列的公差的最大值． 答案：（1）①或②或． （2）当时，的最大值为 ． 试题分析：（1）①利用待定系数法求特殊数列通项公式，四个独立条件可解出四个元，列方程组即可，②先根据条件列出关于等比数列公比的一元二次方程，数列是唯一的含义有两种情况，一是公比只有唯一解，二是公比有两个不同解，但其中一根为零，需讨论全面（2）易列出方程，即这是一个不定方程求正整数解的问题，满足条件的解只有七组．代入验证可知当时，的最大值为 ． 试题解析：（1）①由数列是等差数列及，得， 由数列是等比数列及，得．                   设数列的公差为，数列的公比为， 若，则有，解得 或 ．     所以，和的通项公式为或       ② 由题设，得，即（*）． 因为数列是唯一的，所以 若，则，检验知，当时，或（舍去），满足题意； 若，则，解得，代入（*）式，解得， 又，所以是唯一的等比数列，符合题意．   所以，或．                                         （2）依题意，，                 设公比为，则有， （**）   记，，则． 将（**）中的消去，整理得，  的大根为 而，所以 的可能取值为： ． 所以，当时，的最大值为 ．             考点：等差数列与等比数列综合，不定方程正整数解

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