题目

如图，在三棱锥P-ABC中，已知，顶点P在平面ABC上的射影为的外接圆圆心. （1）证明：平面平面ABC； （2）若点M在棱PA上，，且二面角P-BC-M的余弦值为，试求的值. 答案：（1）证明见解析   （2） 【解析】 【分析】 （1）设的中点为，连接，易知点为的外接圆圆心，从而平面，即可证明平面平面ABC； （2）以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 求出平面与平面的法向量，代入公式即可建立的方程，解之即可. 【详解】 （1）证明：如图，设的中点为，连接， 由题意，得，则为直角三角形， 点为的外接圆圆心． 又点在平面上的射影为的外接圆圆心， 所以平面， 又平面，所以平面平面． （2）解：由（1）可知平面， 所以，，， 于是以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 设， ，， 设平面的法向量为， 则得 令，得，， 即． 设平面的法向量为， 由得 令，得，，即   解得即M为PA的中点． 【点睛】 本题考查平面与平面垂直的判定，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．

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