题目

已知数列{an}为有限数列，满足|a1-a2|≤|a1-a3|≤…≤|a1-am|，则称{an}满足性质P． （1）判断数列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性质P，请说明理由； （2）若a1=1，公比为q的等比数列，项数为10，具有性质P，求q的取值范围； （3）若{an}是1，2，3，…，m的一个排列（m≥4），{bn}符合bk=ak+1（k=1，2，…，m-1），{an}、{bn}都具有性质P，求所有满足条件的数列{an}． 答案：见解析。 【解析】解：（1）对于数列3，2，5，1，有|2-3|=1，|5-3|=2，|1-3|=2，满足题意，该数列满足性质P； 对于第二个数列4、3、2、5、1，|3-4|=1，|2-4|=2，|5-4|=1．不满足题意，该数列不满足性质P． （2）由题意：|a1-a1qn|≥|a1-a1qn-1|，可得：|qn-1|≥|qn-1-1|，n∈{2，3，…，9}， 两边平方可得：q2n-2qn+1≥q2n-2-2qn-1+1， 整理可得：（q-1）qn-1[qn-1（q+1）-2]≥0，当q≥1时，得qn-1（q+1）-2≥0此时关于n恒成立， 所以等价于n=2时，q（q+1）-2≥0， 所以，（q+2）（q-1）≥0，所以q≤-2，或q≥1，所以取q≥1， 当0＜q≤1时，得qn-1（q+1）-2≤0，此时关于n恒成立，所以等价于n=2时，q（q+1）-2≤0， 所以（q+2）（q-1）≤0，所以-2≤q≤1，所以取0＜q≤1． 当-1≤q＜0时：qn-1[qn-1（q+1）-2]≤0， 当n为奇数时，得qn-1（q+1）-2≤0，恒成立，当n为偶数时，qn-1（q+1）-2≥0，不恒成立； 故当-1≤q＜0时，矛盾，舍去． 当q＜-1时，得qn-1[qn-1（q+1）-2]≤0，当n为奇数时，得qn-1（q+1）-2≤0，恒成立， 当n为偶数时，qn-1（q+1）-2≥0，恒成立；故等价于n=2时，q（q+1）-2≥0， 所以（q+2）（q-1）≥0，所以q≤-2或q≥1，所以取q≤-2， 综上q∈（-∞，-2]∪（0，+∞）． （3）设a1=p，p∈{3，4，…，m-3，m-2}， 因为a1=p，a2可以取p-1，或p+1，a3可以取p-2，或p+2， 如果a2或a3取了p-3或p+3，将使{an}不满足性质P；所以{an}的前5项有以下组合： ①a1=p，a2=p-1；a3=p+1；a4=p-2；a5=p+2； ②a1=p，a2=p-1；a3=p+1；a4=p+2；a5=p-2； ③a1=p，a2=p+1；a3=p-1；a4=p-2；a5=p+2； ④a1=p，a2=p+1；a3=p-1；a4=p+2；a5=p-2； 对于①，b1=p-1，|b2-b1|=2，|b3-b1|=1，与{bn}满足性质P矛盾，舍去； 对于②，b1=p-1，|b2-b1|=2，|b3-b1|=3，|b4-b1|=2与{bn}满足性质P矛盾，舍去； 对于③，b1=p+1，|b2-b1|=2，|b3-b1|=3，|b4-b1|=1与{bn}满足性质P矛盾，舍去； 对于④b1=p+1，|b2-b1|=2，|b3-b1|=1，与{bn}满足性质P矛盾，舍去； 所以P∈{3，4，…，m-3，m-2}，均不能同时使{an}、{bn}都具有性质P． 当p=1时，有数列{an}：1，2，3，…，m-1，m满足题意． 当p=m时，有数列{an}：m，m-，…，3，2，1满足题意． 当p=2时，有数列{an}：2，1，3，…，m-1，m满足题意． 当p=m-1时，有数列{an}：m-1，m，m-2，m-3，…，3，2，1满足题意． 所以满足题意的数列{an}只有以上四种． 【考点】数列的应用；等差数列与等比数列的综合．等比数列的实际应用 【专题】计算题；转化思想；分析法；函数的性质及应用；等差数列与等比数列；数学运算． 【分析】（1）根据定义，验证两个数列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性质P即可； （2）假设公比q的等比数列满足性质p，可得：|a1-a1qn|≥|a1-a1qn-1|，推出（q-1）qn-1(qn-1（q+1）-2)≥0，通过q≥1，0＜q≤1时，-1≤q＜0时：q＜-1时，四种情况讨论求解即可． （3）设a1=p，分p=1时，当p=m时，当p=2时，当p=m-1时，以及P∈{3，4，…，m-3，m-2}，五种情况讨论，判断数列{an}的可能情况，分别推出{bn}判断是否满足性质P即可． 【点评】本题考查数列的综合应用，不等式以及不等关系，二次函数的性质以及函数的相关性质的综合应用，考查分析问题解决问题的能力是难度大的题目，必须由高的数学思维逻辑修养才能解答．

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