题目

课本再现 （ 1 ）在证明 “ 三角形内角和定理 ” 时，小明只撕下三角形纸片的一个角拼成图 1 即可证明，其中与 相等的角是 ______ ； 类比迁移 （ 2 ）如图 2 ，在四边形 中， 与 互余，小明发现四边形 中这对互余的角可类比（ 1 ）中思路进行拼合：先作 ，再过点 作 于点 ，连接 ，发现 ， ， 之间的数量关系是 _________ ； 方法运用 （ 3 ）如图 3 ，在四边形 中，连接 ， ，点 是 两边垂直平分线的交点，连接 ， ． ① 求证： ； ② 连接 ，如图 4 ，已知 ， ， ，求 的长（用含 ， 的式子表示）． 答案： （ 1 ） ∠ DC ；（ 2 ） AD 2 + DE 2 = AE 2 ；（ 3 ） ① 见解析； ② BD = ． 【分析】 （ 1 ）根据拼图可求得 ∠ A =∠ DC ； （ 2 ）根据 ∠ ABC 与 ∠ ADC 互余求得 ∠ ADF =∠ ADC +∠ ABC =90° ，利用勾股定理即可求解； （ 3 ） ① 由点 O 是 △ ACD 两边垂直平分线的交点，证得 OA = OD = OC ，推出 2∠ OAC +2∠ ODC +2∠ ODA =180 ，得到 ∠ OAC +∠ ADC =90 ，即可求解； ② 作 ∠ CDF =∠ ABC ，再过点 C 作 CE ⊥ DF 于点 E ，连接 AE ，求得 AC ： AB ： BC = 1 ： 2 ： ，同理可得 CE ： DE ： DC = 1 ： 2 ： ，证明 △ ACE △ BCD ，利用相似三角形的性质以及勾股定理即可求解． 【详解】 （ 1 ）根据拼图可得： ∠ A =∠ DC ； 故答案为： ∠ DC ； （ 2 ）作 ∠ CDF =∠ ABC ，再过点 C 作 CE ⊥ DF 于点 E ，连接 AE ，如图， ∵∠ ABC 与 ∠ ADC 互余，即 ∠ ABC +∠ ADC =90° ， ∴∠ ADF =∠ ADC +∠ CDF =∠ ADC +∠ ABC =90° ， ∴ AD 2 + DE 2 = AE 2 ； 故答案为： AD 2 + DE 2 = AE 2 ； （ 3 ） ① 证明：连接 OD 、 OC ， ∵ 点 O 是 △ ACD 两边垂直平分线的交点， ∴ OA = OD = OC ， ∴∠ OAC =∠ OCA ， ∠ ODC =∠ OCD ， ∠ OAD =∠ ODA ， ∵2∠ OAC +2∠ ODC +2∠ ODA =180 ， 即 2∠ OAC +2∠ ADC =180 ， ∴∠ OAC +∠ ADC =90 ， ∵∠ OAC =∠ ABC ， ∴∠ ABC +∠ ADC =90 ； ② 作 ∠ CDF =∠ ABC ，再过点 C 作 CE ⊥ DF 于点 E ，连接 AE ， ∵∠ ABC +∠ ADC =90 ， ∴∠ ABC +∠ CDF =90 ， ∴ AD 2 + DE 2 = AE 2 ，即 m 2 + DE 2 = AE 2 ， ∵∠ BAC =90 ， ∴ AC ： AB ： BC = 1 ： 2 ： ， 同理可得 CE ： DE ： DC = 1 ： 2 ： ， ∴ ， ∵∠ CDF =∠ ABC ， ∴∠ ACB =∠ DCE ， ∴∠ BCD =∠ ACE ， ∴△ ACE △ BCD ， ∴ ， ∴ AE = ， 在 Rt △ CDE 中， ， ∴ DE = ， ∴ m 2 +( ) 2 =( ) 2 ，即 m 2 + 2 = ， ∴ BD 2 = ， ∴ BD = ． 【点睛】 本题属于四边形综合题，考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考压轴题．

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