题目

某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=1米；上部CDG是等边三角形，固定点E为AB的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆． （1）当MN和AB之间的距离为0.5米时，求此时△EMN的面积； （2）设MN与AB之间的距离为米，试将△EMN的面积S（平方米）表示成关于x的函数；  （3）请你探究△EMN的面积S（平方米）有无最大值，若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由．     答案：解：（1）由题意，当MN和AB之间的距离为0.5米时，MN应位于DC下方，且此时△EMN中MN边上的高为0.5米. 所以，S△EMN==0.5（平方米）. 即△EMN的面积为0.5平方米. …………2分 （2）①如图1所示   图1     ，当MN在矩形区域滑动，即0＜x≤1时，  △EMN的面积S==； ②如图2所示   当MN在三角形区域滑动，即1＜x＜时， 如图，连接EG，交CD于点F，交MN于点H， ∵ E为AB中点， ∴ F为CD中点，GF⊥CD,且FG＝. 又∵ MN∥CD， ∴ △MNG∽△DCG． ∴ ，即 故△EMN的面积S＝ ＝； 综合可得：      （3）①当MN在矩形区域滑动时，，所以有； ②当MN在三角形区域滑动时，S=. 因而，当（米）时,S得到最大值， 最大值S===（平方米）.    ∵ ， ∴ S有最大值，最大值为平方米.

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