题目

如图1，在等边△ABC中，点D是边AC的中点，点P是线段DC上的动点(点P与点C不重合)，连结BP. 将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°），得到△A1B1P,连结AA1，射线AA1分别交射线PB、射线B1B于点E、F.      （1） 如图1，当0°＜α＜60°时，在α角变化过程中，△BEF与△AEP始终存在  ▲  关系（填“相似”或“全等”），并说明理由；（2）如图2，设∠ABP=β . 当60°＜α＜180°时，在α角变化过程中，是否存在△BEF与△AEP全等？若存在，求出α与β之间的数量关系；若不存在，请说明理由； （3）如图3，当α=60°时，点E、F与点B重合. 已知AB=4，设DP=x，△A1BB1的面积为S，求S关于x的函数关系式. 答案：解: （1） 相似   ……………………………………………………………………1分 由题意得：∠APA1=∠BPB1=α   AP= A1P  BP=B1P              则  ∠PAA1 =∠PBB1 = ……………………………2分            ∵∠PBB1 =∠EBF        ∴∠PAE=∠EBF  又∵∠BEF=∠AEP ∴△BEF ∽△AEP……………………………………………………………3分 （2）存在，理由如下： ………………………………………………………………4分 易得：△BEF ∽△AEP 若要使得△BEF≌△AEP，只需要满足BE=AE即可 ………………………5分 ∴∠BAE=∠ABE  ∵∠BAC=60°       ∴∠BAE= ∵∠ABE=β  ∠BAE=∠ABE     ……………………………………………6分 ∴即α=2β+60°     ……………………………………………7分 （3）连结BD，交A1B1于点G， 过点A1作A1H⊥AC于点H. ∵∠B1 A1P=∠A1PA=60° ∴A1B1∥AC  由题意得：AP= A1 P   ∠A=60°  ∴△PAA1是等边三角形 ∴A1H= ………………………………………………………………8分 在Rt△ABD中，BD= ∴BG=…………………………………… 9分 ∴ （0≤x＜2）……………………10分

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