题目

某工厂有216名工人接受了生产1 000台GH型高科技产品的总任务，已知每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成.每个工人每小时能加工6个G型装置或3个H型装置.现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置.设加工G型装置的工人有x人，他们加工完G型装置所需时间为g(x)，其余工人加工完H型装置所需时间为h(x)(单位:小时，可不为整数）.(1)写出g(x)、h(x)的解析式；(2)比较g(x)与h(x)的大小，并写出这216名工人完成总任务的时间f(x)的解析式；(3)应怎样分组，才能使完成总任务用的时间最少？ 答案：解:(1)由题意知，需加工G型装置4 000个，加工H型装置3 000个，所用工人分别为x人，(216-x)人.     ∴g(x)=,h(x)=，    即g(x)=,h(x)=(0＜x＜216,x∈N*).    (2)g(x)-h(x)=-=.    ∵0＜x＜216,    ∴216-x＞0.    当0＜x≤86时，432-5x＞0,g(x)-h(x)＞0,g(x)＞h(x);    当87≤x＜216时，432-5x＜0,g(x)-h(x)＜0,g(x)＜h(x).    ∴f(x)=    (3)完成总任务所用时间最少即求f(x)的最小值.    当0＜x≤86时，f(x)递减，    ∴f(x)≥f(86)=    ∴f(x)min=f(86),此时216-x=130.    当87≤x＜216时，f(x)递增，    ∴f(x)≥f(87)=    ∴f(x)min=f(87),    此时216-x=129.    ∴f(x)min=f(86)=f(87)=.    ∴加工G型装置、H型装置的人数分别为86、130或87、129.

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