题目

已知抛物线，与x轴交于两点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（Ⅰ）求点A，B和点C的坐标；（Ⅱ）已知P是线段上的一个动点． ①若轴，交抛物线于点Q，当取最大值时，求点P的坐标； ②求的最小值．答案：（Ⅰ）A，B，C；（Ⅱ）①；② 【分析】（Ⅰ）令，代入抛物线解析式即可求出A、B的坐标，令从而得出C点坐标；（Ⅱ）①设代入B、C坐标即可得出直线解析式，设，，则，且Q在P上方，分别表示出PQ，BP即可得出PQ+BP的表达式，对表达式进行配方即可得出结果，②如图，延长至点D，使得，连接，作轴于点E，过点P作于点H，可证的是等腰直角三角形，由垂线段最短可知，当，，共线时取得最小值，根据题目已知条件得出D点坐标，表示出即可得出结果．【详解】解：（Ⅰ）令，则，解得，． ∴A点坐标为，B点坐标为．令，则． ∴C点坐标为．（Ⅱ）①设：，将，分别代入得，，解得，故．可设，，则，且Q在P上方．所以．又．故．当时取得最大值，此时． ②如图，延长至点D，使得，连接，作轴于点E，过点P作于点H．由，，，所以，．则是等腰直角三角形，．，由垂线段最短可知，当，，共线时取得最小值． ∵， ∵， ∴． ∴． ∴，．可得点D的坐标为． ∴，，代入可得，解得，故有．所以的最小值为．【点睛】本题主要考查的是二次函数与几何的综合应用，掌握二次函数的性质以及用配方法求得最大值是解题的关键．

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