题目

如图所示，椭圆的左､右顶点分别为、，上、下顶点分别为、，右焦点为，，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）过点作不与轴重合的直线与椭圆交于点、，直线与直线交于点，试讨论点是否在某条定直线上，若存在，求出该直线方程，若不存在，请说明理由. 答案：（1）；（2）存在，且定直线方程为. 【分析】 （1）由题意可得出关于、的方程组，求得、的值，可求得的值，由此可求得椭圆的标准方程； （2）设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出直线、的方程，求出交点的纵坐标，进而可得出结论. 【详解】 （1）由题意可得，解得，，， 因此，椭圆的标准方程为； （2）由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、， 联立，消去并整理得， ， 由韦达定理得，. 易知点、， 直线的斜率为，直线的方程为， 直线的斜率为，直线的方程为， 由，可得， 其中， ，解得. 因此，点在定直线上. 【点睛】 本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了定直线的问题，考查韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于中等题.

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