题目

某企业生产A，B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资额成正比，设比例系数为，其关系如图1；B产品的利润与投资额的算术平方根成正比，设比例系数为，其关系如图2．（注：利润与投资额单位是万元） （1）分别将A，B两种产品的利润表示为投资额的函数，并求出的值，写出它们的函数关系式； （2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资额，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元． 答案：（1），．，．（2）A产品投入3．75万元，B产品投入6．25万元时，企业获得最大利润为 万元． 【分析】 （1）由已知给出的函数模型设出解析式，代入已知数据可得； （2）设A产品投入万元，则B产品投入万元，设企业的利润为万元．则有 ，，用换元法转化为求二次函数在给定区间上最值问题． 【详解】 解析：（1）设投资额为万元，A产品的利润为万元，B产品的利润为万元， 由题设，． 由图知，所以，又，所以． 所以，． （2）设A产品投入万元，则B产品投入万元，设企业的利润为万元． ，， 令，则． 所以当时，，此时． 当A产品投入3.75万元，B产品投入6.25万元时，企业获得最大利润为即4.0625万元． 【点睛】 本题考查函数模型的应用．已知函数模型，直接设出解析式形式代入已知数据即可得函数解析式．换元法是求得最大值的关键．

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