题目

如图，等边三角形 ABC 的边长为 4 ， 的半径为 ， P 为 AB 边上一动点，过点 P 作 的切线 PQ ，切点为 Q ，则 PQ 的最小值为 ________ ． 答案： 3 【分析】 连接 OC 和 PC ，利用切线的性质得到 CQ ⊥ PQ ，可得当 CP 最小时， PQ 最小，此时 CP ⊥ AB ，再求出 CP ，利用勾股定理求出 PQ 即可． 【详解】 解：连接 QC 和 PC ， ∵ PQ 和圆 C 相切， ∴ CQ ⊥ PQ ，即 △ CPQ 始终为直角三角形， CQ 为定值， ∴ 当 CP 最小时， PQ 最小， ∵△ ABC 是等边三角形， ∴ 当 CP ⊥ AB 时， CP 最小，此时 CP ⊥ AB ， ∵ AB = BC = AC =4 ， ∴ AP = BP =2 ， ∴ CP = = ， ∵ 圆 C 的半径 CQ = ， ∴ PQ = =3 ， 故答案为： 3 ． 【点睛】 本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意得到当 PC ⊥ AB 时，线段 PQ 最短是关键．

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