题目

如图，线段 与 表示某一段河的两岸， ．综合实践课上，同学们需要在河岸 上测量这段河的宽度（ 与 之间的距离），已知河对岸 上有建筑物 C 、 D ，且 米，同学们首先在河岸 上选取点 A 处，用测角仪测得 C 建筑物位于 A 北偏东 45° 方向，再沿河岸走 20 米到达 B 处，测得 D 建筑物位于 B 北偏东 55° 方向，请你根据所测数据求出该段河的宽度，（用非特殊角的三角函数或根式表示即可） 答案： 米 【分析】 首先构造直角三角形，作 、 ，垂足为 P 、 Q ，则四边形 CPQD 为矩形， CD = PQ =60 ，设河宽 CP 为 x ，利用 ∠ CAP =45° ，得出 AP = x ，则 BP = ，根据 ∠ BDQ 的正弦列出方程，求出 x 即可表示出河宽． 【详解】 解：如图，过 C 、 D 分别作 、 垂足为 P 、 Q, 设河宽为 x 米． 由题可知， , , ∴ 为等腰直角三角形， ∴ ， , ∵ MN ∥ EF ， 、 ， ∴ , ∴ 四边形 CPQD 为矩形， ∴ CD = PQ =60, 在 中， ∵ , ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 所以河宽为 米． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用，方向角，三角函数，等腰直角三角形的性质，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，利用三角函数的定义，列出方程解决问题．

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