题目

在几何体ABC－A1B1C1中，点A1、B1、C1在平面ABC内的正投影分别为A、B、C，且AB⊥BC，AA1＝BB1＝4，AB＝BC＝CC1＝2，E为AB1的中点．  (1) 求二面角B1－AC1－C的大小； (2)设点M为△ABC所在平面内的动点，EM⊥平面AB1C1，求线段BM的长． 答案：【解】因为点B1在平面ABC内的正投影为B，所以B1B⊥BA，B1B⊥BC， 又AB⊥BC，如图建立空间直角坐标系B－xyz， B(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(2,0,4)，B1(0,0,4)，C1(0,2,2)，E(1,0,2)，  (1设平面AB1C1的法向量n2＝(x，y，z)， ＝(2,0，－4)，＝(0,2，－2)， 由，即， 取y＝1，得n2＝(2,1, 1)， 同理，平面ACC1的法向量n3＝(1,1,0)， 所以cos〈n2，n3〉＝＝， 由图知，二面角B1－AC1－C的平面角是钝角， 所以二面角B1－AC1－C的平面角是π. (2设点M的坐标为(a，b,0)，则＝(a－1，b，－2)，由EM⊥平面AB1C1，得， 即解得，所以M(－3，－2,0)，||＝.

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