题目

（本小题满分7分）已知：等边三角形ABC（1）如图1，P为等边△ABC外一点，且∠BPC=120°．试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系,并证明你的猜想；（2）如图2，P为等边△ABC内一点，且∠APD=120°．求证：PA+PD+PC＞BD           答案：猜想：AP=BP+PC                ------------------------------1分（1）证明：延长BP至E，使PE=PC，联结CE∵∠BPC=120°∴∠CPE=60°，又PE=PC∴△CPE为等边三角形∴CP=PE=CE，∠PCE=60°∵△ABC为等边三角形∴AC=BC，∠BCA=60°∴∠ACB=∠PCE，∴∠ACB+∠BCP=∠PCE+∠BCP即：∠ACP=∠BCE∴△ACP≌△BCE ∴AP=BE     ------------------------------------------------------2分∵BE=BP+PE∴AP=BP+PC  -----------------------------------------------------3分（2）方法一：在AD外侧作等边△AB′D     --------------------------- 4分则点P在三角形ADB′外∵∠APD=120°∴由（1）得PB′=AP+PD在△PB′C中，有PB′+PC＞CB′，  ∴PA+PD+PC＞CB′      ------------------------------------5分∵△AB′D、△ABC是等边三角形∴AC=AB，AB′=AD，∠BAC=∠DA B′=60°∴∠BAC+∠CAD=∠DAB′+∠CAD即：∠BAD=∠CAB′∴△AB′C≌△ADB   ∴C B′=BD         ------------------------------------------------ 6分∴PA+PD+PC＞BD   -------------------------------------------------- 7分方法二：延长DP到M使PM=PA，联结AM、BM∵∠APD=120°，∴△APM是等边三角形， -----------------------------4分∴AM=AP，∠PAM=60°∴DM=PD+PA         ------------------------------5分∵△ABC是等边三角形∴AB=AC，∠BAC=60°∴△AMB≌△APC∴BM=PC         -----------------------------------------------6分在△BDM中，有DM +BM＞BD，  ∴PA+PD+PC＞BD     ----------------------------------------------7分解析:略 

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