题目

为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取 “ k 合 1 检测法 ” ，即将 k 个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有 100 人，已知其中 2 人感染病毒． （ 1 ） ① 若采用 “10 合 1 检测法 ” ，且两名患者在同一组，求总检测次数； ② 已知 10 人分成一组，分 10 组，两名感染患者在同一组的概率为 ，定义随机变量 X 为总检测次数，求检测次数 X 的分布列和数学期望 E ( X ) ； （ 2 ）若采用 “5 合 1 检测法 ” ，检测次数 Y 的期望为 E ( Y ) ，试比较 E ( X ) 和 E ( Y ) 的大小 ( 直接写出结果 ) ． 答案： （ 1 ） ① 次； ② 分布列见解析；期望为 ；（ 2 ）见解析． 【分析】 （ 1 ） ① 由题设条件还原情境，即可得解； ② 求出 X 的取值情况，求出各情况下的概率，进而可得分布列，再由期望的公式即可得解； （ 2 ）求出 ，分类即可得解 . 【详解】 （ 1 ） ① 对每组进行检测，需要 10 次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要 10 次； 所以总检测次数为 20 次； ② 由题意， 可以取 20 ， 30 ， ， ， 则 的分布列 : 所以 ； （ 2 ）由题意， 可以取 25 ， 30 ，设两名感染者在同一组的概率为 p ， ， ， 则 ， 若 时， ； 若 时， ； 若 时， .

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