题目

如图，在菱形 ABCD 中， ， ，过菱形 ABCD 的对称中心 O 分别作边 AB ， BC 的垂线，交各边于点 E ， F ， G ， H ，则四边形 EFGH 的周长为（ ） A ． B ． C ． D ． 答案： A 【分析】 依次求出 OE = OF = OG = OH ，利用勾股定理得出 EF 和 OE 的长，即可求出该四边形的周长． 【详解】 ∵ HF ⊥ BC , EG ⊥ AB , ∴∠ BEO =∠ BFO =90° ， ∵∠ A =120° ， ∴∠ B =60° ， ∴∠ EOF =120° ， ∠ EOH =60° ， 由菱形的对边平行，得 HF ⊥ AD , EG ⊥ CD ， 因为 O 点是菱形 ABCD 的对称中心， ∴ O 点到各边的距离相等，即 OE = OF = OG = OH ， ∴∠ OEF =∠ OFE =30° ， ∠ OEH =∠ OHE =60° ， ∴∠ HEF =∠ EFG =∠ FGH =∠ EHG =90° ， 所以四边形 EFGH 是矩形； 设 OE = OF = OG = OH = x ， ∴ EG = HF =2 x ， ， 如图，连接 AC ，则 AC 经过点 O ， 可得三角形 ABC 是等边三角形， ∴∠ BAC =60° ， AC = AB =2, ∴ OA =1,∠ AOE =30° ， ∴ AE = ， ∴ x = OE = ∴ 四边形 EFGH 的周长为 EF + FG + GH + HE = , 故选 A ． 【点睛】 本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等内容，要求学生在理解相关概念的基础上学会应用，能分析并综合运用相关条件完成线段关系的转换，考查了学生的综合分析与应用的能力．

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