椭圆的标准方程知识点题库

已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F(- $\text{[math]}$ ,0)，且过点D（2，0）．

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）设点A(1, $\text{[math]}$ )，若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程．

已知椭圆 $\text{[math]}$ （a＞b＞0），右焦点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在椭圆上；

（1）求椭圆C的标准方程；
（2）是否存在过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点，且∠AFB=90°？若存在，请求出所有符合要求的直线；若不存在，请说明理由．

已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，且过点 $\text{[math]}$ ．

（Ⅰ）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程．

（Ⅱ）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 上两个不同的动点，且使 $\text{[math]}$ 的角平分线垂直于 $\text{[math]}$ 轴，试判断直线 $\text{[math]}$ 的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．

已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且离心率为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为椭圆上任意一点，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的面积为1.

（1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
（2）已知点 $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 上异于椭圆顶点的一点，延长直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别与椭圆交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，设直线 $\text{[math]}$ 的斜率为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 的斜率为 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 为定值.

设 $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 上的点，若 $\text{[math]}$ 是椭圆的两个焦点，则 $\text{[math]}$ 等于（）

A . 4 B . 5 C . 8 D . 10

设椭圆 $\text{[math]}$ 的焦点分别为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$

（1）求椭圆的方程；
（2）过 $\text{[math]}$ 分别作互相垂直的两直线 $\text{[math]}$ ，与椭圆分别交于 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 四点，求四边形 $\text{[math]}$ 面积的最大值和最小值．

已知椭圆C： $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 分别作斜率为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的两条直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 交椭圆于A，B两点，直线 $\text{[math]}$ 交椭圆于C，D两点，线段AB的中点为M，线段CD的中点为N．

$\text{[math]}$ Ⅰ $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求椭圆方程；

$\text{[math]}$ Ⅱ $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 面积的最大值．

设椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

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（Ⅰ）求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；

（Ⅱ）过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，求 $\text{[math]}$ 内切圆面积的最大值.

已知椭圆C的焦点为 $\text{[math]}$ ，过F₂的直线与C交于A ， B两点.若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则C的方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

已知椭圆 $\text{[math]}$ 的左右焦点坐标为 $\text{[math]}$ ，且椭圆 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ．

（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设点M是椭圆E上位于第一象限内的动点， $\text{[math]}$ 分别为椭圆 $\text{[math]}$ 的左顶点和下顶点，直线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点C，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点D，求四边形 $\text{[math]}$ 的面积．

已知圆 $\text{[math]}$ 过椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的焦点与短轴端点，则椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程为.

椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为椭圆 $\text{[math]}$ 的左、右顶点， $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 上任意一点， $\text{[math]}$ 面积的最大值为 $\text{[math]}$ .

（1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
（2）过点 $\text{[math]}$ 且斜率不为零的直线交椭圆 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，过点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 的垂线，垂足为 $\text{[math]}$ ，证明：直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的交点为定点.

方程 $\text{[math]}$ ，化简的结果是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，椭圆 $\text{[math]}$ 的中心在原点，焦点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上，离心率为 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 交椭圆于 $\text{[math]}$ 两点，且 $\text{[math]}$ 的周长为16，则椭圆 $\text{[math]}$ 的方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，椭圆C： $\text{[math]}$ 的左右顶点为A，B，上顶点K满足 $\text{[math]}$ .

（1）求C的标准方程：
（2）过点 $\text{[math]}$ 的直线与椭圆C交于M，N两点.设直线MA和直线NB相交于点P，直线NA和直线MB相交于点Q，直线PQ与x轴交于S.
（ⅰ）求直线PQ的方程；

（ⅱ）证明： $\text{[math]}$ 是定值.

设椭圆 $\text{[math]}$ 过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 为坐标原点．

（1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 $\text{[math]}$ 恒有两个交点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ？若存在，写出该圆的方程，并求 $\text{[math]}$ 的取值范围；若不存在，说明理由．

已知长轴长为 $\text{[math]}$ ，短轴长为 $\text{[math]}$ ，焦点在 $\text{[math]}$ 轴上的椭圆，过它的左焦点 $\text{[math]}$ 作倾斜角为 $\text{[math]}$ 的直线交椭圆于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点.

（1）求椭圆的标准方程.
（2）求弦 $\text{[math]}$ 的长.

已知椭圆C： $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，依次连接C四个顶点所得菱形的面积为4．

（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若A（－2，0），直线l： $\text{[math]}$ 与C交于 $\text{[math]}$ 两点，且AP⊥AQ，试判断直线l是否过定点？若是，求出此定点的坐标；若不是，说明理由．

已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的短轴长为 $\text{[math]}$ ，离心率为 $\text{[math]}$ .

（1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
（2）点 $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 上的动点，过点 $\text{[math]}$ 的动直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 相交于不同的 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，在线段 $\text{[math]}$ 上取点 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，证明：点 $\text{[math]}$ 的轨迹过定点.

阿基米德（公元前287年公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积若椭圆 $\text{[math]}$ 的对称轴为坐标轴，焦点在 $\text{[math]}$ 轴上，且椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，面积为 $\text{[math]}$ ，则椭圆 $\text{[math]}$ 的方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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