1.2.5 空间中的距离知识点题库

如图，已知正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的棱长为4，点E，F分别是线段AB，C₁D₁上的动点，点P是上底面A₁B₁C₁D₁内一动点，且满足点P到点F的距离等于点P到平面ABB₁A₁的距离，则当点P运动时，PE的最小值是（　　）

A . 5 B . 4 C . 4 $\text{[math]}$ D . 2 $\text{[math]}$

已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则CD=

如图，在四棱锥中P﹣ABCD，底面ABCD为边长为 $\text{[math]}$ 的正方形，PA⊥BD．

（1）求证：PB=PD；
（2）若E，F分别为PC，AB的中点，EF⊥平面PCD，求直线PB与平面PCD所成角的大小．

如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E，F，P，Q分别是BC，C₁D₁ ， AD₁ ， BD的中点．

（1）求证：PQ∥平面DCC₁D₁；
（2）求PQ的长；
（3）求证：EF∥平面BB₁D₁D．

已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是∠A=60°，边长为a的菱形，又PD⊥底面ABCD，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点．

（Ⅰ）证明：PB⊥AC；

（Ⅱ）证明：平面PMB⊥平面PAD；

（Ⅲ）求点A到面PMB的距离．

正方体的棱长为1，C、D、M分别为三条棱的中点，A、B是顶点，那么点M到截面ABCD的距离是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图，正三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，底面边长为 $\text{[math]}$ ．

（1）设侧棱长为1，求证：AB₁⊥BC₁；
（2）设AB₁与BC₁的夹角为 $\text{[math]}$ ，求侧棱的长．

如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC=120°，PA=AB=BC=6， $\text{[math]}$ =等于（）

A . $\text{[math]}$ B . 6 C . 12 D . 144

某工厂欲加工一件艺术品，需要用到三棱锥形状的坯材，工人将如图所示的长方体ABCD﹣EFQH材料切割成三棱锥H﹣ACF．

（Ⅰ）若点M，N，K分别是棱HA，HC，HF的中点，点G是NK上的任意一点，求证：MG∥平面ACF；

（Ⅱ）已知原长方体材料中，AB=2，AD=3，DH=1，根据艺术品加工需要，工程师必须求出该三棱锥的高；甲工程师先求出AH所在直线与平面ACF所成的角θ，再根据公式h=AH•sinθ求三棱锥H﹣ACF的高h．请你根据甲工程师的思路，求该三棱锥的高．

如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .

（1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离.

在正三棱柱 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，则点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离是（）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 2

如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，且底面ABCD为平行四边形，若∠DAB=60°，AB=2，AD=1．

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（1）求证：PA⊥BD；
（2）若∠PCD=45°，求点D到平面PBC的距离h．

正三棱柱 $\text{[math]}$ 的侧棱长和底面边长均为2，则 $\text{[math]}$ 与侧面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为；点E为 $\text{[math]}$ 中点，则过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点的截面面积为.

在长方体 $\text{[math]}$ 中，已知底面 $\text{[math]}$ 为正方形， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为正方形 $\text{[math]}$ 所在平面内的一个动点，且满足 $\text{[math]}$ .则线段 $\text{[math]}$ 的长度的最大值是（）

A . 2 B . 4 C . 6 D . 前三个答案都不对

在三棱锥 $\text{[math]}$ 中, $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ,则点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离是．

一条线段的中点叫做线段的重心；在三角形中，各边中线的交点叫做三角形的重心．由此类比给出四面体的重心：在四面体中连接四面体各顶点与对面三角形重心的线段的交点叫做四面体的重心．则在四面体中，四面体的重心到顶点的距离与到对面三角形重心的距离之比为（）

A . 1:1 B . 2:1 C . 3:1 D . 4:1

已知边长为2的菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ （如图1所示），将 $\text{[math]}$ 沿对角线 $\text{[math]}$ 折起到 $\text{[math]}$ 的位置（如图2所示），点 $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 上任意一点（点 $\text{[math]}$ 不与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 重合），则下列说法正确的是（）

A . 四面体 $\text{[math]}$ 体积的最大值为1 B . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上的动点，则线段 $\text{[math]}$ 长度的最小值为 $\text{[math]}$ C . 当 $\text{[math]}$ 时，点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ D . 三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积与点 $\text{[math]}$ 的位置无关

如图所示，在三棱柱中，已知ABCD和 $\text{[math]}$ 为是矩形，平面 $\text{[math]}$ 平面ABCD.若 $\text{[math]}$ ，则直线AB到面 $\text{[math]}$ 的距离为.

如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为菱形，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 的中点.

（1）在棱 $\text{[math]}$ 上是否存在一点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，并说明理由；
（2）若 $\text{[math]}$ ，二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值为 $\text{[math]}$ 时，求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离.