1.2.1 空间中的点、直线与空间向量知识点题库

已知长方体ABCD﹣A′B′C′D′的上，下底面都是边长为3的正方形，长方体的高为4，如图建立空间直角坐标系，求下列直线的一个方向向量．

（1）AB′（2）BB′（3）B′D（4）CB′．

正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，O是AC，BD的交点，则C₁O与A₁D所成的角是（　　）

A . 60° B . 90° C . arccos $\text{[math]}$ D . arccos $\text{[math]}$

在长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AB=2，BC=2，DD₁=2 $\text{[math]}$ ，则AC₁与面BDD₁所成角的大小是

若△ABC中，∠C=90°，A（1，2，﹣3k），B（﹣2，1，0），C（4，0，﹣2k），则k的值为（　　）

A . $\text{[math]}$ B . - $\text{[math]}$ C . 2 $\text{[math]}$ D . ± $\text{[math]}$

如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形，PA是四棱锥的高，PB与DC所成角为45°，F是PB的中点，E是BC上的动点．

（Ⅰ）证明：PE⊥AF；

（Ⅱ）若BC=2BE=2 $\text{[math]}$ AB，求直线AP与平面PDE所成角的大小．．

（1）如图，在大小为 $\text{[math]}$ 的二面角 $\text{[math]}$ 中，四边形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 都是边长为1的正方形，求 $\text{[math]}$ 两点间的距离。
（2）在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角的余弦值。

如图，正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角的余弦值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

已知四棱锥 $\text{[math]}$ 的底面为直角梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上的点.

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（1）求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角的余弦值；
（2）若平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 垂直，求线段BM的长度.

如图，在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点.

（1）求异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值；
（2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的二面角（是指不超过 $\text{[math]}$ 的角）的余弦值.

已知正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为 $\text{[math]}$ ，异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的距离为.

如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，已知棱 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两两垂直且长度分别为1，2，2，若 $\text{[math]}$ ，且向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值为 $\text{[math]}$ ．

（1）求 $\text{[math]}$ 的值；
（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值．

如图所示，已知正三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁的各条棱长都相等，M是侧棱CC₁的中点，则异面直线AB₁和BM所成的角的大小是（）

A . 60° B . 45° C . 90° D . 30°

已知正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为2，P为侧面 $\text{[math]}$ 的中心，Q为侧面 $\text{[math]}$ 的中心，则直线PB与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

平面α的斜线l与它在这个平面上射影l'的方向向量分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则斜线l与平面α所成的角为（）

A . 30° B . 45° C . 60° D . 90°

如图，在四棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 是正方形， $\text{[math]}$ ，E，F，G分别为棱 $\text{[math]}$ 的中点．

（1）求异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值；
（2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．

过 A（4，y）， $\text{[math]}$ 两点的直线的一个方向向量为 $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . -1 D . 1

如图①，在直角梯形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，将四边形 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折起，如图②，连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求证： $\text{[math]}$ ；
（2）当翻折至 $\text{[math]}$ 时，设 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上的动点，求线段 $\text{[math]}$ 长的最小值.

已知 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 表示两条不同的直线， $\text{[math]}$ 表示平面，则下面四个命题正确的是（）

①若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；②若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；③若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；④若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．