如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，B为上一点，OB⊥AC于D. 若AC=m，BD=150m，则的长为（ ）

A . m B . m C . m D . m

如图1，点P是线段AB上与点A，点B不重合的任意一点，在AB的同侧分别以A，P，B为顶点作 ∠1=∠2=∠3，其中∠1与∠3的一边分别是射线AB和射线BA，∠2的两边不在直线AB上，我们规定这三个角互为等联角，点P为等联点，线段AB为等联线．

1. （1） 如图2，在5×3个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，AB为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点的方法，作出以线段AB为等联线、某格点P为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；
3. （2） 如图3，在Rt△APC中，∠A=90°， ， 延长AP至点B，使AB=AC，作∠A的等联角∠CPD和∠PBD．将△APC沿PC折叠，使点A落在点M处，得到△MPC，再延长PM交BD的延长线于E，连接CE并延长交PD的延长线于F，连接BF．

   ①确定△PCF的形状，并说明理由；

   ②若AP：PB=1：2，BF=k，求等联线AB和线段PE的长（用含k的式子表示）．

2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站，如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态，当两臂 ， 两臂夹角时，求A，B两点间的距离．(结果精确到 ， 参考数据 ， ， )

综合运用

如图1，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A在轴的正半轴上，如图2，将正方形绕点逆时针旋转，旋转角为 ， 交直线于点 ， 交轴于点 ．

1. （1） 当旋转角为多少度时，；（直接写出结果，不要求写解答过程）
3. （2） 若点 ， 求的长；
5. （3） 如图3，对角线交轴于点 ， 交直线于点 ， 连接 ， 将与的面积分别记为与 ， 设 ， ， 求关于的函数表达式．

如图，在菱形中， ， ， 动点M，N同时从A点出发，点M以每秒2个单位长度沿折线A-B-C向终点C运动；点N以每秒1个单位长度沿线段向终点D运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动.设运动时间为x秒，的面积为y个平方单位，则下列正确表示y与x函数关系的图象是（ ）

A . B . C . D .

如图，在正方形中，点E为边的中点，连接 ， 过点B作于点F，连接交于点G，平分交于点H.则下列结论中，正确的个数为（  ）

① ② ③当时，

如图，的半径为2 ， 为的弦，点C为上的一点，将沿弦翻折，使点C与圆心O重合，则阴影部分的面积为.（结果保留π与根号）

如图，是边长为6的等边三角形，点E为高上的动点.连接 ， 将绕点C顺时针旋转60°得到.连接 ， ， ， 则周长的最小值是.

已知等腰 ， ， .现将以点B为旋转中心旋转45°，得到 ， 延长交直线于点D.则的长度为.

综合与实践

数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径.通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地.

1. （1） 发现问题：如图1，在和中， ， ， ， 连接BE，CF，延长BE交CF于点D.则BE与CF的数量关系：，°；
3. （2） 类比探究：如图2，在和中， ， ， ， 连接BE，CF，延长BE，FC交于点D.请猜想BE与CF的数量关系及的度数，并说明理由；
5. （3） 拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形， ， 连接BE，CF，且点B，E，F在一条直线上，过点A作 ， 垂足为点M.则BF，CF，AM之间的数量关系：；
7. （4） 实践应用：正方形ABCD中， ， 若平面内存在点P满足 ， ， 则.