题目

设函数 ， 其中.（Ⅰ）若 ， 讨论的单调性；（Ⅱ）若 ， （i）证明恰有两个零点（ii）设为的极值点，为的零点，且 ， 证明. 答案：解：由已知，f(x)的定义域为(0，+∞)，且f'(x)=1x−[aex+a(x−1)ex]=1−ax2exx，因此当a≤0时，1−ax2ex>0，从而f'(x)>0，所以f(x)在(0，+∞)内单调递增.（II）证明：（i）由（I）知，f'(x)=1−ax2exx，令g(x)=1−ax2ex，由0<a<1e，可知g(x)在(0，+∞)内单调递减，又g(1)=1−ae>0，且g(ln1a)=1−a(ln1a)21a=1−(ln1a)2<0，故g(x)=0在(0，+∞)内有唯一解，从而f'(x)=0在(0，+∞)内有唯一解，不妨设为x0，则1<x0<ln1a，当x∈(0，x0)时，f'(x)=g(x)x>g(x0)x=0，所以f(x)在(0，x0)内单调递增；当x∈(x0，+∞)时，f'(x)=g(x)x<g(x0)x=0，所以f(x)在(x0，+∞)内单调递减，因此x0是f(x)的唯一极值点.令h(x)=lnx−x+1，则当x>1时，h'(x)=1x−1<0，故h(x)在(1，+∞)内单调递减，从而当x>1时，h(x)<h(1)=0，所以lnx<x−1，从而f(ln1a)=lnln1a−a(ln1aa−1)eln1a=lnln1a−ln1a+1=h(ln1a)<0，又因为f(x0)>f(1)=0，所以f(x)在(x0，+∞)内有唯一零点，又f(x)在(0，x0)内有唯一零点1，从而，f(x)在(0，+∞)内恰有两个零点.（ii）由题意，{f'(x0)=0f(x1)=0，即{ax02ex0=1lnx1=a(x1−1)ex1，从而lnx1=x1−1x02ex1−x0，即ex1−x0=x02lnx1x1−1，因为当x>1时，lnx<x−1，又x1>x0>1，故ex1−x0<x02(x1−1)x1−1=x02，两边取对数，得lnex1−x0<lnx02，于是x1−x0<2lnx0<2(x0−1)，整理得3x0−x1>2，

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