题目

已知数列满足. （1） 求数列的通项公式； （2） 求数列的前项和. 答案： 解：因为an−an+1=3anan+1，a2=14，令 n=1， 则 a1−a2=3a1a2， 即a1−14=34a1， 解得a1=1， 由题知an≠0， 由an−an+1=3anan+1， 两边同除以anan+1，得1an+1−1an=3，所以数列{1an}是首项为1a1=1，公差为3的等差数列，所以1an=1a1+3(n−1)=3n−2，即an=13n−2. 解：由（1）及条件可得anan+1=1(3n−2)(3n+1)=13(13n−2−13n+1)，所以Tn=13(1−14)+13(14−17)+⋯+13(13n−2−13n+1)=13(1−14+14−17+⋯+13n−2−13n+1)=13(1−13n+1)=n3n+1.

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