题目

如图，在三棱锥中，为等腰直角三角形， ， ， 为正三角形，D为AC的中点.. （1） 证明：平面平面； （2） 若二面角的平面角为锐角，且三棱锥的体积为 ， 求二面角的正弦值. 答案： 证明：∵PA=PC，D为AC中点，∴AC⊥PD.又△ABC为等边三角形，BA=BC，∴AC⊥BD.∵BD∩PD=D，BD，PD⊂平面PDB，∴AC⊥平面PDB.∵AC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面PDB. 解：∵△ABC为正三角形，AC=2，∴ △ABC的面积为3，设三棱锥P−ABC的底面ABC上的高为h，VP−ABC=13×3×h=33h=36⇒h=12，作PO⊥DB于O，由(1)PO⊥平面ABC，所以PO=12，又PD=1，所以∠PDO=30°，DO=32所以O是DB的中点，记BC的中点为E，以OB，OE，OP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O−xyz，则A(−32，−1，0)，B(32，0，0)，P(0，0，12)，C(−32，1，0)∴AP→=(32，1，12)，PB→=(32，0，−12)，PC→=(−32，1，−12)设n1→=(x1，y1，z1)是平面PAB的一个法向量{32x1+y1+12z1=032x1−12z1=0⇒{3x1=z13x1+2y1+z1=0，取n1→=(1，−3，3)设n2→=(x2，y2，z2)是平面PBC的一个法向量{32x2−12z2=0−32x2+y2−12z2=0⇒{z2=3x2−3x2+2y2−z2=0取n2→=(1，3，3)cos⟨n1→⋅n2→⟩=|n1→⋅n2→||n1→||n2→|=|1−3+3|7=17，设二面角A−PB−C的平面角为θ，则sinθ=1−cos2θ=1−cos2⟨n1→⋅n2→⟩=437.

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