题目

如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点．将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于P． （1） 求证：平面PBD⊥平面BFDE； （2） 求二面角P﹣DE﹣F的余弦值． 答案： 证明：由正方形ABCD知，∠DCF=∠DAE=90°，EF∥AC，BD⊥AC，EF⊥BD，∵点E，F分别是AB，BC的中点．将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于P．∴PD⊥PF，PD⊥PE，∵PE∩PF=P，PE、PF⊆平面PEF．∴PD⊥平面PEF．又∵EF⊂平面PEF，∴PD⊥EF，又BD∩PD=D，∴EF⊥平面PBD，又EF⊂平面BFDE，∴平面PBD⊥平面BFDE 解：连结BD、EF，交于点O，以O为原点，OF为x轴，OD为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，设在正方形ABCD的边长为2，则DO= ， = ，PE=PF=1，PO= = ，∴P（0，0， ），D（0， ，0），E（﹣ ，0，0），F（ ，0，0）， =（﹣ ，﹣ ，0）， =（0，﹣ ， ）， =（ ，﹣ ，0），设平面PDE的法向量 n→ =（x，y，z），则 ，取y=1，则 n→ =（﹣3， ，3），平面DEF的法向量 m→ =（0，0，1），设二面角P﹣DE﹣F的平面角为θ，则cosθ= = = ．∴二面角P﹣DE﹣F的余弦值为 ．

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