题目

品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分． 现设n=4，分别以a1 ， a2 ， a3 ， a4表示第一次排序时被排为1，2，3，4的四种酒在第二次排序时的序号，并令X=|1﹣a1|+|2﹣a2|+|3﹣a3|+|4﹣a4|，则X是对两次排序的偏离程度的一种描述．（Ⅰ）写出X的可能值集合；（Ⅱ）假设a1 ， a2 ， a3 ， a4等可能地为1，2，3，4的各种排列，求X的分布列；（Ⅲ）某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有X≤2，①试按（Ⅱ）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；②你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由． 答案：解：（Ⅰ）X的可能取值集合为{0、2、4、6、8} ∵在1、2、3、4中奇数与偶数各有两个，∴a2，a4中的奇数个数等于a1，a3中的偶数个数，∴|1﹣a1|+|3﹣a3|与|2﹣a2|+|4﹣a4|的奇偶性相同，∴X=（|1﹣a1|+|3﹣a3|）+（|2﹣a2|+|4﹣a4|）必为偶数，X的值非负，且易知其值不大于8，∴X的可能取值集合为{0、2、4、6、8}（Ⅱ）可以用列表或者树状图列出1、2、3、4的一共24种排列，计算每种排列下的X的值，在等可能的假定下，得到P（X=0）= 124 P（X=2）= 324 P（X=4）= 724 P（X=6）= 924 P（X=8）= 424 （Ⅲ）①首先P（X≤2）=P（X=0）+P（X=2）= 424 = 16 将三轮测试都有X≤2的概率记做P，有上述结果和独立性假设得P= (16)3 = 1216 ，②由于P= 1216 ＜ 51000 是一个很小的概率，这表明仅凭随机猜测得到三轮测试都有X≤2的结果的可能性很小，∴我们认为该品酒师确实有良好的鉴别功能，不是靠随机猜测．

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