题目

如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，CF⊥AB于点F，CE⊥AD交AD的延长线于点E，且CE=CF． （1） 求证：CE是⊙O的切线； （2） 连接CD，CB．若AD=CD=a，写出求四边形ABCD面积的思路． 答案： 解：证明：连接OC，AC． ∵CF⊥AB，CE⊥AD，且CE=CF．∴∠CAE=∠CAB．∵OC=OA，∴∠CAB=∠OCA．∴∠CAE=∠OCA．∴OC∥AE．∴∠OCE+∠AEC=180°，∵∠AEC=90°，∴∠OCE=90°即OC⊥CE，∵OC是⊙O的半径，点C为半径外端，∴CE是⊙O的切线 解：求解思路如下： ①由AD=CD=a，得到∠DAC=∠DCA，于是∠DCA=∠CAB，可知DC∥AB； AD^ = BC^ ，②由OC∥AE，OC=OA，可知四边形AOCD是菱形；③由∠CAE=∠CAB，得到CD=CB，DC=BC=a，可知△OBC为等边三角形；④由等边△OBC可求高CF的长，进而可求四边形ABCD面积．解：∵AD=CD，∴∠DAC=∠DCA=∠CAB，∴DC∥AB，∵∠CAE=∠OCA，∴OC∥AD，∴四边形AOCD是平行四边形，∴OC=AD=a，AB=2a，∵∠CAE=∠CAB，∴CD=CB=a，∴CB=OC=OB，∴△OCB是等边三角形，在Rt△CFB中，CF= CB2−FB2 = a23 ，∴S四边形ABCD= 12 （DC+AB）•CF= 334 a2．

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