题目

已知椭圆E： + =1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为 ，直线l过点（﹣1，0）交椭圆E于A、B两点，O为坐标原点． （1） 求椭圆E的方程； （2） 求△OAB面积的最大值． 答案： 解：由题意得b=1，由 {ca=63a2=1+c2 得a= 3 ，c= 2 ，b=1， ∴椭圆E的方程为 x23 +y2=1 解：依题意设直线l的方程为x=my﹣1， 联立椭圆方程，得（m2+3）y2﹣2my﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2= 2mm2+3 ，y1y2=﹣ 2m2+3 ，S△AOB= 12×1× |y1﹣y2|= 3m2+6(m2+3)3 ，设m2+3=t（t≥3），则S△AOB= −3(1t−12)2+34 ，∵t≥3，∴0＜ 1t ≤ 13 ，∴当 1t = 13 ，即t=3时，△OAB面积取得最大值为 63 ，此时m=0

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