题目

如图，四边形 与 均为菱形， ，且 . （1） 求证： 平面 ； （2） 求直线 与平面 所成角的正弦值. 答案： 证明：设 AC 与 BD 相交于点O，连接 FO ， ∵四边形 ABCD 为菱形，∴ AC⊥BD ，且O为 AC 中点， ∵ FA=FC ，∴ AC⊥FO ， 又 FO∩BD=O ，∴ AC⊥ 平面 BDEF 解：连接 DF ，∵四边形 BDEF 为菱形，且 ∠DBF=60° ， ∴ △DBF 为等边三角形， ∵O为 BD 中点，∴ FO⊥BD ，又 AC⊥FO ， ∴ FO⊥ 平面 ABCD . ∵ OA ， OB ， OF 两两垂直， ∴建立空间直角坐标系 O−xyz ，如图所示， 设 AB=2 ， ∵ 四边形 ABCD 为菱形， ∠DAB=60° ， ∴ BD=2 ， AC=23 . ∵ △DBF 为等边三角形， OF=3. ∴ A(3,0,0) ， B(0,1,0) ， D(0,−1,0) ， F(0,0,3) ∵ DB=EF ， DB//EF ∴ E(0,−2,3) AD→=(−3,−1,0 ， AF→=(−3,0,3) ， EF→=(0,2,0) . 设平面 AEF 的法向量为 n→=(x,y,z) ， 则 {AF⇀⋅n→=−3x+3z=0EF⇀⋅n→=2y=0 ，取 x=1 ，得 n→=(1,0,1) . 设直线 AD 与平面 AEF 所成角为θ， 则 sinθ=|cos<AD→,n→>|=|AD→⋅n→||AD→|⋅|n→|=64 .

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