题目

如图所示，菱形ABCD位于平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过菱形的三个顶点A、B、C，已知A（﹣3，0）、B（0，﹣4）. （1） 求抛物线解析式； （2） 线段BD上有一动点E，过点E作y轴的平行线，交BC于点F，若S△BOD＝4S△EBF ， 求点E的坐标； （3） 抛物线的对称轴上是否存在点P，使△BPD是以BD为斜边的直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，说明理由. 答案： 解：∵点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（0，﹣4）， ∴OA＝3，OB＝4， ∴AB＝ 0A2+0B2 ＝5. ∵四边形ABCD为菱形， ∴AD∥BC，BC＝AB＝5， ∴点C的坐标为（5，﹣4）. 将A（﹣3，0），B（0，﹣4），C（5，﹣4）代入y＝ax2+bx+c，得： {9a−3b+c=0c=−425a+5b+c=−4 ，解得： {a=16b=−56c=−4 ， ∴抛物线解析式为 y=16x2−56x−4 . 解： ∵EF∥OB，AD∥BC， ∴∠OBD＝∠FEB，∠ODB＝∠FBE， ∴△BOD∽△EFB， ∴ S△BODSΔEFB=(ODBF)2 . ∵S△BOD＝4S△EBF， ∴OD＝2BF. ∵AD＝AB＝5，OA＝3， ∴OD＝2， ∴点D的坐标为（2，0），BF＝1. 设直线BD的解析式为y＝kx+d（k≠0）， 将B（0，﹣4），D（2，0）代入y＝kx+d，得： {d=−42k+d=0 ，解得： {k=2d=−4 ， ∴直线BD的解析式为y＝2x﹣4. 当x＝1时，y＝2x﹣4＝﹣2， ∴点E的坐标为（1，﹣2）. 解： ∵抛物线解析式为 y=16x2−56x−4 ， ∴抛物线的对称轴为直线 x=−−562×16=52 . 设点P的坐标为（ 52 ，m）， ∵点B的坐标为（0，﹣4），点D的坐标为（2，0）， ∴BP2＝（ 52 ﹣0）2+[m﹣（﹣4）]2＝m2+8m+ 894 ， DP2＝（ 52 ﹣2）2+（m﹣0）2＝m2+ 14 ， BD2＝（2﹣0）2+[0﹣（﹣4）]2＝20. ∵△BPD是以BD为斜边的直角三角形， ∴BP2+DP2＝BD2，即m2+8m+ 894 +m2+ 14 ＝20， 整理，得：4m2+16m+5＝0， 解得： m1=−4−112 ， m2=−4+112 ， ∴抛物线的对称轴上存在点P，使△BPD是以BD为斜边的直角三角形，点P的坐标为（ 52 ， −4−112 ）或（ 52 ， −4+112 ）.

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