题目

如图，在平面直角坐标系中，二次函数 交 轴于点 、 ，交 轴于点 ，在 轴上有一点 ，连接 .  （1） 求二次函数的表达式； （2） 若点 为抛物线在 轴负半轴上方的一个动点，求 面积的最大值； （3） 抛物线对称轴上是否存在点 ，使 为等腰三角形，若存在，请直接写出所有 点的坐标，若不存在请说明理由. 答案： 解：∵二次函数y=ax2+bx+c经过点A（﹣4，0）、B（2，0），C（0，6），∴ {16a−4b+c=04a+2b+c=0c=6  ，解得： {a=−34b=−32c=6  ，所以二次函数的解析式为：y= −34x2−32x+6 解：由A（﹣4，0），E（0，﹣2），可求AE所在直线解析式为y= −12x−2 ，过点D作DN⊥x轴，交AE于点F，交x轴于点G，过点E作EH⊥DF，垂足为H，如图，设D（m， −34m2−32m+6 ），则点F（m， −12m−2 ），∴DF= −34m2−32m+6 ﹣（ −12m−2 ）= −34m2−m+8 ，∴S△ADE=S△ADF+S△EDF= 12 ×DF×AG+ 12 DF×EH= 12 ×DF×AG+ 12 ×DF×EH= 12 ×4×DF=2×（ −34m2−m+8 ）= −32（m+23）2+503 ，∴当m= −23 时，△ADE的面积取得最大值为 503 ． 解：y= −34x2−32x+6 的对称轴为x=﹣1，设P（﹣1，n），又E（0，﹣2），A（﹣4，0），可求PA= 9+n2 ，PE= 1+（n+2）2 ，AE= 16+4=25 ，分三种情况讨论：当PA=PE时， 9+n2 = 1+（n+2）2 ，解得：n=1，此时P（﹣1，1）；当PA=AE时， 9+n2 = 16+4=25 ，解得：n= ±11 ，此时点P坐标为（﹣1， ±11 ）；当PE=AE时， 1+（n+2）2 = 16+4=25 ，解得：n=﹣2 ±19 ，此时点P坐标为：（﹣1，﹣2 ±19 ）．综上所述：P点的坐标为：（﹣1，1），（﹣1， ±11 ），（﹣1，﹣2 ±19 ）．

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