题目

如图，在扇形 中，半径 ，圆心角 ，A是半径 上的动点，矩形 内接于扇形 ，且 . （1） 若 ，求线段 的长； （2） 求矩形 面积的最大值. 答案： 解： ∵ ∠POQ=π3 且 OA=OD ， ∴△AOD 为等边三角形， ∴∠DAO=π3 ， 又四边形 ABCD 为矩形， ∴∠DAB=π2 ， ∴∠BAP=π6 ， 在扇形 OPQ 中，半径 OP=1 ， 过 B 作 OP 的垂线，垂足为 N ， ∴BN=OBsinα=sinα ， 在 △ABN 中， AB=BNsin∠BAP=BNsinπ6=2sinα 解：矩形 ABCD 面积 S=|AB||AD| ， 设 ∠BOP=α ，由（1）可知 |AB|=2sinα ， |BN|=sinα ， |ON|=|OB|cosα=cosα ， |AN|=|AB|cosπ6=3sinα ， ∴|OA|=|ON|−|AN|=cosα−3sinα ， ∴S矩形ABCD=|AB|⋅|AD|=|AB|⋅|OA|=2sinα(cosα−3sinα) =sin2α+3cos2α−3=2sin(2α+π3)−3 ， ∵α∈(0,π3) ， ∴2α+π3∈(π3,π) ， ∴ 当 2α+π3=π2 ，即 α=π12 时，矩形 ABCD 面积的最大值， 最大值为 2−3

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