题目

已知函数 （其中 ， 为常数， 为自然对数的底数）. （1） 讨论函数 的单调性； （2） 设曲线 在 处的切线为 ，当 时，求直线 在 轴上截距的取值范围. 答案： 解： f′(x)=ex(x2−2x+a)+ex(2x−2)=ex(x2+a−2) ，当 a≥2 时， f′(x)≥0 恒成立，函数 f(x) 的递增区间是 R ；当 a<2 时， f′(x)≥0⇔x2≥2−a⇔x≤−2−a 或 x≥2−a .函数 f(x) 的递增区间是 (−∞,−2−a) ， (2−a,+∞) ，递减区间是 (−2−a,2−a) 解： f(a)=ex(a2−a) ， f′(a)=ex(a2+a−2) ，所以直线 l 的方程为： y−ea(a2−a)=ea(a2+a−2)(x−2) .令 x=0 得到：截距 b=ea(−a3+a) ，记 g(a)=ea(−a3+a) ，g′(a)=ea(−a3−3a2+a+1) ，记 h(a)=−a3−3a2+a+1⇒h′(a)=−3a2−6a+1<0 （∵ 1≤a≤3 ），所以 h(a) 递减，∴ h(x)≤h(1)=−2<0 ，∴ g′(a)<0 ，即 g(a) 在区间 [1,3] 上单调递减，∴ g(3)≤g(a)≤g(1) ，即截距的取值范围是： [−24e3,0] .

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