题目

已知在中，A，B，C为三个内角，a，b，c为三边， ， ． （1） 求角B的大小； （2） 在下列两个条件中选择一个作为已知，求出BC边上的中线的长度．①的面积为；②的周长为 ． 答案： 解：∵c=2bcosB，则由正弦定理可得sinC=2sinBcosB，∴sin2B=sin2π3=32，∵C=2π3，∴B∈(0，π3)，2B∈(0，2π3)，∴2B=π3，解得B=π6． 解：若选择（1），由（1）可得A=π6，即a=b则S△ABC=12absinC=12a2⋅32=334，解得a=3，则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：b2+(a2)2−2⋅b⋅a2⋅cos2π3=3+34+3⋅32=212．若选择（2）：由（1）可得A=π6，设△ABC的外接圆半径为R，则由正弦定理可得a=b=2Rsinπ6=R，c=2Rsin2π3=3R，则周长a+b+c=2R+3R=4+23，解得R=2，则a=2，c=23，由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：(23)2+12−2⋅23⋅1⋅cosπ6=7．

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