题目

在各项为正的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足Sn= （an+ ）， （1） 求a1 ， a2 ， a3； （2） 由（1）猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想． 答案： 解：易求得 a1=1,a2=2−1,a3=3−2 解：猜想 an=n−n−1(n∈N*) 证明：①当n=1时， a1=1−0=1 ，命题成立②假设n=k时， ak=k−k−1 成立，则n=k+1时， ak+1=Sk+1−Sk=12(ak+1+1ak+1)−12(ak+1ak) = 12(ak+1+1ak+1)−12(k−k−1+1k−k−1) = 12(ak+1+1ak+1)−k ，所以， ak+12=2kak+1−1=0 ，∴ ak+1=k+1−k ．即n=k+1时，命题成立．由①②知，n∈N*时， an=n−n−1

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