题目

已知 ， 设函数是的导函数． （1） 若 ， 求曲线在点处的切线方程； （2） 若在区间上存在两个不同的零点 ， ①求实数a范围；②证明： ． 注，其中是自然对数的底数． 答案： 解：当a=2时，f(x)=2(x−1)lnx+x，f′(x)=2lnx−2x+3，所以f(1)=1，k=f′(1)=1．根据点斜式可得曲线f(x)在(1，f(1))处的切线方程为y=x 解：①当x>1时，f(x)=0等价于2x+xlnx−a=0．设g(x)=2x+xlnx−a，则g′(x)=2+lnx−1ln2x=(lnx+1)(2lnx−1)ln2x．当1<x<e时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x>e时，g′(x)>0，g(x)单调递增；所以，当x>1时，[g(x)]min=g(e)=4e−a，因为f(x)在区间(1，+∞)上存在两个不同的零点x1，x2，所以[g(x)]min<0，解得a>4e．当a>4e时，取xa=aa−1∈(1，e)，则lnxa<xa−1=1a−1，故g(xa)=2xa+xalnxa−a>2aa−1+aa−11a−1−a=2aa−1>0，又g(a2)=a2lna2>0，所以f(x)在区间(1，e)和(e，a2)上各有一个零点．综上所述：a>4e．②设F(x)=f(x)−[(3−a)x+a−2]=(2x−a)lnx+(a−2)x−(a−2)，则F′(x)=2lnx+2x−ax+(a−2)=2lnx−ax+a，它是[1，+∞)上的增函数．又F′(1)=0，所以F′(x)≥0，于是F(x)在[1，+∞)上递增．所以F(x)≥F(1)=0，即(2x−a)lnx+x≥(3−a)x+a−2，当x=1时取等号．因为x1>1，所以0=f(x1)>(3−a)x1+a−2，解得0<1x1−1<a−3．(1)因为f′(x)=2lnx−ax+3，所以x2f′(x2)=2x2lnx2−a+3x2，结合f(x2)=(2x2−a)lnx2+x2=0知x2f′(x2)=−2x222x2−a−a+3x2=−a2−(a−2x2)+a22a−2x2．处理1：设函数h(x)=xlnx，则h′(x)=lnx−1ln2x，所以当0<x<e时，h′(x)<0，h(x)递减，当x>e时，h′(x)>0，h(x)递增，所以h(x)=xlnx≥h(e)=e，所以a−2x2=x2lnx2≥e．处理2：因为lnx≤x−1，所以ln(xe)≤xe−1，即lnx≤xe，当x=e时取等号，所以f(a−e2)=−elna−e2+a−e2>−e⋅a−e2e+a−e2=0．由①可知，f(x)在[x2，+∞)上单调递增，且f(x2)=0，所以x2≤a−e2，即a−2x2≥e．因为g(x)=−a2−t+a22t在[e，+∞)上是减函数，且a−2x2≥e，且x2f′(x2)=g(a−2x2)≤g(e)=−a2−e+a22e=(a−e)(a−2e)2e．综上可知：x2f′(x2)x1−1<(a−e)(a−2e)(a−3)2e

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